Кружки Эйлера
Городской математический кружок

Математика

1-2 класс
Примерные задания для поступления

Доступ в файле

Просмотр на сайте









Математика

3-4 класс
Примерные задания для поступления

Доступ в файле

Просмотр на сайте












Математика

5 класс
Программа и примерные задания для поступления

Уникурсальные кривые, Эйлеровы графы. Обратный ход, анализ задачи с конца. Взвешивания.

Четность, чередование, разбиение на пары. Кролики и клетки: Принцип Дирихле.

Клетчатая геометрия. Задачи на разрезание. Рыцари и лжецы, логические задачи.

Игры с полной информацией. Выигрышные стратегии. Переливания. Переправы. Круги Эйлера.

Доступ в файле

Просмотр на сайте

1) В клетчатом квадрате Лёша отметил 1 клетку. Оказалось, что в своей строке она пятая слева и седьмая справа. Кроме того, в своём столбце эта клетка третья сверху. Которая она снизу?

2) Сколько квадратиков 1*1 надо приложить справа к полоске 1*11, чтобы периметр новой полоски оказался в 2 раза больше периметра старой?

3) Какое наименьшее натуральное число надо вычесть из 1000, чтобы получить число, все цифры которого различны?

4) Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше вычитаемого. Чему равна эта разность?

5) Когда четверых ребят спросили, сколько из них вчера ходили на каток, Саша ответила, что никто, Коля – что один человек, Тоня – что два, а Женя – что три. Известно, что правду сказали только те, кто ходил на каток. Сколько ребят ходили вчера на каток?

6) Пока пятиклассник Петя съедает пять конфет, восьмиклассник Вова успевает съесть восемь конфет. Вместе за большую перемену мальчики съели 39 конфет. На сколько больше конфет Вова съел больше, чем Петя?

7) Пятеро ребят стоят в ряд и держат воздушные шарики. У ребят, стоящих справа от Бори, 14 шариков, справа от Вовы – 32 шарика, справа от Кати – 20 шариков, а справа от Антона – 8 шариков. Сколько шариков держит Антон?

8) Сколько часов во второй половине первой четверти суток?
Математика

6 класс
Примерные задания для поступления

Доступ в файле

Просмотр на сайте

1) Решите уравнение: 8,6∙(2,4-1,5)-1,2∙(2x-1,3)=0,9

2) Вася сложил на калькуляторе 5 последовательных чисел и получил результат 4800. Найдите наибольшее из чисел, которые складывал Вася.

3) Вася держит в руке пучок веревочек, к которым привязаны 7 красных, 6 синих и 4 зеленых воздушных шарика, но все веревочки перепутались так, что не понятно какая веревочка с каким шариком связана. Какое наибольшее количество веревочек Вася может отпустить так, чтобы у него гарантированно остались шарики хотя бы двух различных цветов?

4) По аллее длиной 135 м навстречу друг другу идут двое детей. Скорость мальчика 1,5 м/с, а его младшей сестрёнки — 1 м/с. Между ними от одного к другому, не останавливаясь и заливаясь радостным лаем, бегает их собака со скоростью 5 м/с. Сколько метров пробежит собака прежде, чем дети встретятся?

5) Поезд длиной 200 метров проезжает мимо телеграфного столба за 10 секунд. За какое время он проедет мимо второго такого же поезда, движущегося ему навстречу с такой же скоростью?

6) Петя задумал число. Затем он прибавил к этому числу 1, результат разделил на 2, вычел 3, умножил на 4, прибавил 5, умножил на 6, прибавил 7 и разделил на 11. В результате у него получилось 11. Какое число Петя задумал вначале?

7) Пять пиратов делили между собой три слитка золота. Для того чтобы не пилить слитки, три пирата забрали себе по слитку и заплатили по 1500 монет. Два оставшихся пирата разделили все монеты между собой поровну. Сколько монет стоит один слиток золота, если дележка была честной?

8) За первый день скошенная трава потеряла 10% влаги, а за второй – 5%, после чего осталось 1710 т травы. Сколько тонн травы было скошено?

9) Первая труба заполняет бассейн за 20 часов. Первая и вторая вместе – за 15 часов, а сразу три трубы – за 12 часов. За какое время смогут заполнить бассейн вторая и третья труба вместе?

10) В новом классе во время классного часа дети брали из корзины яблоки и угощали ими друг друга. Каждая девочка угостила яблоком каждого мальчика из числа тех, с кем она раньше училась в разных классах. А каждый мальчик угостил яблоком каждую девочку из числа тех, с кем он раньше учился в одном классе. После этого яблоки в корзине закончились. Сколько в этом классе могло быть мальчиков, если девочек было 8, а яблок в корзине – 120?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3,5 962 9 270м 10 с 12 3750 2000 т 30 ч 15
Математика

7-8 класс
Примерные задания для поступления

Доступ в файле

Просмотр на сайте

1) Лыжник рассчитал, что если он будет пробегать в час 10 км, то прибудет на турбазу на час позже срока, а если – 15 км – то на час раньше срока. С какой скоростью ему надо бежать, чтобы прибыть точно в срок?

Решение. Пусть, прибыв на базу точно в срок, лыжник потратит х часов. Тогда расстояние до базы равно 10(х+1) = 15(х-1) км. Решив уравнение, получим, что х=5, расстояние до базы равно 60 км и, чтобы прибыть на базу вовремя, лыжник должен двигаться со скоростью 12 км/ч.

2) На столе перед Алисой лежат три пирожка и три записки. Один из пирожков ей нужно немедленно съесть. В каждой записке – два утверждения. Алиса знает, что в одной записке оба утверждения истинны, в другой оба ложны, а в третьей одно ложно и одно истинно.
Записка 1: а) Первый пирожок есть не надо. б) Нужно съесть второй пирожок.
Записка 2: а) Не надо есть первый пирожок. б) Нужно съесть третий.
Записка 3. а) Нельзя есть третий пирожок. б) Нужно съесть первый пирожок. Какой пирожок нужно съесть Алисе?

Ответ: Нужно съесть третий пирожок.
Решение: Если бы нужно было съесть первый пирожок, то тогда в записках 1 и 2 оба утверждения ложны, что противоречит условию задачи. Если бы нужно было съесть второй пирожок, то тогда в записках 2 и 3 одно утверждение истинно, а второе ложно, что противоречит условию задачи. Если же нужно съесть третий пирожок, то тогда в записке 1 одно утверждение истинно, одно ложно, в записке 2 оба утверждения истинны, в записке 3 оба утверждения ложны, что удовлетворяет условию задачи.

3) Четверых людей разбили на две пары. Оказалось, что одна пара в сумме старше второй пары на 15 лет. Тогда этих же людей разбили на пары иначе. Может ли получиться так, что одна полученная пара будет младше другой пары ровно на 8 лет?

Решение. Рассмотрим первое разбиение на пары. Так как 15 – число нечетное, то суммарные возрасты пар имеют разную четность. То есть общий возраст всех четырех людей нечетный. Во втором разбиении при четной разности возрастов суммарные возрасты пар имеют одинаковую четность. Значит, в этом случае общий возраст всех четырех людей четный. Получили противоречие.

4) В прямоугольнике 3х5, разбитом на квадраты, вырезан центральный квадрат. Найдите все способы разрезания данной фигуры по линиям сетки на две равные части (два способа считаются различными, если получаются различные фигуры).

Решение. Существует 5 различных способов разрезания.

5) В каждую клетку таблицы 6*6 можно записать одно из чисел 1, 2, 3,…,11. Клетку назовем хорошей, если в 11-ти клетках, стоящих с ней в одной горизонтали или вертикали, есть все числа от 1 до 11. Найдите хотя бы одну расстановку чисел, при которой все клетки главной диагонали являются хорошими.

Решение. Один из возможных вариантов:
1 3 5 7 9 11
2 1 6 8 10 4
4 7 1 11 3 9
6 9 10 1 5 2
8 11 2 4 1 6
10 5 8 3 7 1